By Rolf Walter
This textbook for the elemental lecture process an analogous identify bargains with chosen issues of multidimensional research. it's also an advent to the speculation of normal differential equations and the Fourier idea, of value within the program of picture processing and acoustics.
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Man fügt deshalb noch die Bedingung (16) C10 F1 C C20 F2 D 0 hinzu. Gesucht sind also Lösungen Y der inhomogenen Gleichung in der angesetzten Gestalt mit dieser Zusatzbedingung an C1 , C2 . Die Zusatzbedingung könnte man besser motivieren, wenn man die Sache vektoriell behandelte. Hier wird sie durch den Erfolg gerechtfertigt. t /, äquivalent damit, dass Y die Gleichung (I-H) erfüllt. Rechts heben sich die Glieder mit Koeffizienten C1 , C2 heraus, da F1 und F2 die Gleichung (H) befriedigen. t / D C10 F10 C C20 F20 : Die Gesamtheit der Lösungen von (I-H) ergibt sich also in der Gestalt (14), wenn man die Funktionen C1 , C2 so wählt, dass (16) und (17) erfüllt sind.
D. Beispiel. 3] lautete: y 00 D a sin y; a > 0: Mit der Substitution y0 WD y, y1 WD y 0 ist diese Differentialgleichung zweiter Ordnung äquivalent mit dem Differentialgleichungssystem erster Ordnung: y00 D y1 y10 D a sin y0 : Zur Lösung trägt die Transformation in ein System zunächst nichts bei. Es ist jedoch für die Gewinnung einheitlicher Methoden wichtig, dass dieser Übergang Systeme erster Ordnung produziert. Für diese gibt es nämlich übersichtliche Verfahren, Existenz- 40 Kapitel 1 Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen und Eindeutigkeit von Lösungen zu untersuchen.
Ii) Fixpunkte sind i. Allg. x/ D x 2 . Fixpunkte sind 0 und 1 (da 02 D 0; 12 D 1). Um der Fixpunktfrage zu Leibe zu rücken, nutzen wir aus, dass F eine Selbstabbildung ist. X / usw. So kommen auf natürliche Weise die sukzessiven Iterierten von F ins Spiel. X / Ã : Es ist vermutlich günstig, wenn diese sukzessiven Bildmengen gehörig schrumpfen. Das kann man mit einer Lipschitz-Bedingung erzwingen: 50 Kapitel 2 Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen D. Satz (Fixpunktsatz von Banach). X; d / ein vollständiger metrischer Raum und F W X !