Angewandte Mathematik: Body and Soul: Analysis in Mehreren by Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson

By Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson

Angewandte Mathematik: physique and Soul ist ein neuer Grundkurs in der Mathematikausbildung f?r Studienanf?nger in den Naturwissenschaften, der Technik, und der Mathematik, der an der Chalmers Tekniska H?gskola in G?teborg entwickelt wurde. Er besteht aus drei B?nden sowie Computer-Software. Das Projekt ist begr?ndet in der Computerrevolution, die ihrerseits v?llig neue M?glichkeiten des wissenschaftlichen Rechnens in der Mathematik, den Naturwissenschaften und im Ingenieurwesen er?ffnet hat. Es besteht aus einer Synthese der mathematischen research (Soul) mit der numerischen Berechnung (Body) sowie den Anwendungen. Die B?nde I-III geben eine moderne model der research und der linearen Algebra wieder, einschlie?lich konstruktiver numerischer Techniken und Anwendungen, zugeschnitten auf Anf?ngervorlesungen im Maschinenbau und den Naturwissenschaften. Dieser Band behandelt die research in mehreren Variablen, einschlie?lich partieller Ableitungen, mehr-dimensionaler Integrale, partieller Differentialgleichungen und finiter Elemente-Methode, zusammen mit einer Auswahl von Anwendungen f?r Systeme partieller Differentialgleichungen. Die Autoren sind f?hrende Experten im Gebiet des wissenschaftlichen Rechnens und haben schon mehrere erfolgreiche B?cher geschrieben. "[......] Oh, incidentally, I recommend instant buy of all 3 volumes!"

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6. 14. h. f (t) = (f1 (t), . . , fm (t)) mit t ∈ R. Die Linearisierung t → fˆ(t) = f (t¯)+f (t¯)(t− t¯) in t¯ entspricht einer Geraden in Rm durch den Punkt f (t¯) und die JacobiMatrix f (t¯) = (f1 (t¯), . . , fm (t¯)) entspricht der Richtung der Tangente der Kurve f : R → Rm in f (t¯), vgl. Abb. 7. 7 Die Kettenregel 827 x2 s (t) s(b) s(t) a t b t s(a) x1 Abb. 7. 7 Die Kettenregel Seien g : Rn → Rm und f : Rm → Rp gegeben. Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion f ◦g : Rn → Rp , die durch f ◦g(x) = f (g(x)) definiert ist.

Wir berechnen ∂f ∂f (¯ x) = ex¯2 sin(¯ x3 ), (¯ x) = x ¯1 ex¯2 sin(¯ x3 ), ∂x1 ∂x2 ∂f (¯ x) = x ¯1 ex¯2 cos(¯ x3 ) ∂x3 und somit f (¯ x) = (ex¯2 sin(¯ x3 ), x ¯1 ex¯2 sin(¯ x3 ), x ¯1 ex¯2 cos(¯ x3 )). 11. Sei f : R3 → R2 mit f (x) = exp(x21 + x22 ) sin(x2 + 2x3 ) gegeben. Wir berechnen f (x) = 2x1 exp(x21 + x22 ) 2x2 exp(x21 + x22 ) 0 cos(x2 + 2x3 ) 0 . 6 Jacobi-Matrix, Gradient und Tangente 825 Wir haben nun die Berechnung von Elementen der Jacobi-Matrix vorgestellt, indem wir die u ur die Ableitung nach einer reellen ¨ blichen Regel f¨ Variablen anwenden.

Die H¨ ohenlinien der Funktion u(x) = x21 + x22 sind Kreise 2 2 ohenlinien der Funktion u(x) = 2x21 + x22 x1 + x2 = c mit c ≥ 0. Die H¨ 2 2 sind die Ellipsen 2x1 + x2 = c mit c ≥ 0. Die H¨ohenlinien der Funktion u(x) = x21 − x2 sind die Parabeln x2 = x21 − c mit konstantem c. 2. Eine gute Wanderkarte enth¨ alt die H¨ohenlinien der Funktion u : R2 → R, die der H¨ ohe eines Punktes x ∈ R2 relativ zur Meeresh¨ohe entspricht. Der H¨ ohenunterschied zwischen zwei benachbarten Linien ist u ohenunterschied zwischen zwei Punkten kann ¨ blicherweise 10 Meter.

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