Analysis 2: Anwendungsorientierte Mathematik by Gert Böhme

By Gert Böhme

Analysis 2 behandelt den "klassischen" Stoff in der Weise, wie ihn der Anwender, der Ingenieur, Informatiker oder Wirtschaftswissenschaftler im Beruf benötigt: - Integralrechnung - Unendliche Reihen (speziell Fourier-Reihen) - Gewöhnliche Differentialrechnungen (einschließlich Laplace-Transformation) Das Maß der Abstraktion ist bewußt gering gehalten. Methodische und anschauliche Beschreibungen erleichtern den Zugang ebenso wie Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen. Das Lehrbuch basiert auf den langjährigen Lehrerfahrungen des Autors und zeichnet sich insbesondere durch sein anwendungsorientiertes und breit angelegtes Konzept aus. Dieser Band will in erster Linie dem Studienanfänger helfen, den Übergang von der Schul- zur Hochschulmathematik erfolgreich zu bewältigen.

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Nonstandard research was once initially constructed via Robinson to scrupulously justify infinitesimals like df and dx in expressions like df/ dx in Leibniz' calculus or perhaps to justify ideas similar to [delta]-"function". even though, the procedure is way extra basic and was once quickly prolonged via Henson, Luxemburg and others to a great tool in particular in additional complex research, topology, and useful research.

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Integral rechnung 38 Uisung: Der Integrand ist bereits ein echter Polynombruch. 1. Schritt: Nullstellenbestimmung des Nennerpolynoms: x 2 - 8x + 15 = 0 => xl = 5, x 2 = 3 =>x 2 -8x+15= (x-5)(x-3). 2. l 2 = 3: x 4x - 9 11 1 3 1 2x-5-"2x-3· 3. Schritt: Integration der Partial bruche 11 "2 2·f 2x 4 2 - x - 5x + 1 dx x 3 _ x 2 _ 2x I 3 In x-51 -"2 In Ix - 31 + c. =? Lasung: Der Integrand ist unecht-gebrochen rational, muB also zunachst aufgespalten werden. Deshalb 1. Schritt: AusfUhrung der Division: 4 2 3 2) 5x 2 - x + 1 ( 2x - x - 5x + 1 ) : (x - x - 2x = 2x + 2 + -if--;,,--x 3 _ x 2 _ 2x 2.

3 Das bestimmte Integral 51 kann auf diese Weise nicht behandelt werden, da der Integrand f(x) = 1/x2 im Intervall - 1 ~ x ~ + 1 nicht durchweg stetig ist (bei x =0 liegt eine Unendlichkeits- stelle! ) Siitze tiber Integrationsgrenzen: Ftir die Grenzen des bestimmten Integrals gel ten einige wichtige Siitze, die im folgenden erliiutert seien. 2) Bedeutung erlangen. Satz Vertauscht man die Integrationsgrenzen, so iindert der In- tegralwert sein Vorzeichen: a b f f f(x)dx = - a Beweis: 1st f f(x)dx b b f(x)dx = F (b) - F(a) , a so ergibt sich fur a f f b f(x)dx = F(a) - F(b) -[F(b)-F(a)J=- b f(x)dx.

Man gebe fUr das Integral fOnx)ndX, (n > 0, ganz) eine Rekursionsformel an! LOsung: Wir setzen u dv = (lnx)n = dx du = n ( Inx ) n-l 1 - dx x v=x und bekommen damit Die Struktur dieser Rekursionsformel ist, wenn man setzt I n = x (In x) n - n I l n- (n > 0, ganz) Die Anwendung der eingerahmten Rekursionsformel fUr ein konkretes Integral dieser Art, also fUr eine gegebene Belegung von n E N, kann man am Ablaufplan der A bb. 2 verfolgen. Nehmen wir einmal n =4 an. Dann ist gesucht. 2) Ii := flnxdx = x(lnx-l) + C voraus.

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