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K=0 n n 1 n! c) 3 3 4. 4. Man beweise mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes: F¨ur jede reelle Zahl x 0 und jede nat¨urliche Zahl n 2 gilt (1 + x)n > n2 2 x . 5. Man zeige: F¨ur alle reellen Zahlen x, y gilt max(x, y) = 12 (x + y + |x − y|), min(x, y) = 12 (x + y − |x − y|). 6. Man beweise folgende Regeln f¨ur die Funktionen floor und ceil: x = − −x f¨ur alle x ∈ R. b) x = x +1 f¨ur alle x ∈ R c) n/k = (n + k − 1)/k a) Z. f¨ur alle n, k ∈ Z mit k 1. 29 § 4 Folgen, Grenzwerte Wir kommen jetzt zu einem der zentralen Begriffe der Analysis, dem des Grenzwerts einer Folge.

Heißt periodisch, wenn nat¨urliche Zahlen r, s an+s = an f¨ur alle n 1 existieren, so dass r. Man beweise: Ein b-adischer Bruch ist genau dann periodisch, wenn er eine rationale Zahl darstellt. 3. Gegeben seien zwei (unendliche) g-adische Br¨uche (g 2), 0 . a1 a2 a3 a4 . . , 0 . b1 b2 b3 b4 . . , die gegen dieselbe Zahl x ∈ R konvergieren. Man zeige: Entweder gilt an = bn f¨ur alle n 1 oder es existiert eine nat¨urliche Zahl k 1, so dass (nach evtl. Vertauschung der Rollen von a und b) gilt: ⎧ ⎪ ai = bi f¨ur alle i < k , ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ a = b + 1, k k ⎪ f¨ur alle n > k , ⎪ an = 0 ⎪ ⎪ ⎩ bn = g − 1 f¨ur alle n > k .

Zur Notation. Wir haben hier in der Formulierung der Axiome den Implikationspfeil benutzt. A ⇒ B bedeutet, dass die Aussage B aus der Aussage A folgt. Die Bezeichnung A ⇔ B bedeutet, dass sowohl A ⇒ B als auch B ⇒ A gilt, also die Aussagen A und B logisch a¨ quivalent sind. Schließlich heißt die Bezeichnung A :⇔ B, dass die Aussage A durch die Aussage B definiert wird. Definition (Gr¨oßer- und Kleiner-Relation). F¨ur reelle Zahlen x, y definiert man x>y x 0, y > x, x > y oder x = y , x < y oder x = y .