An elementary treatise on differential equations and their by Henry Thomas Herbert Piaggio

By Henry Thomas Herbert Piaggio

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Und 7. zeile. Wie lautet demnach die binomische Formel fur n = 7? ist. Sicherlich wissen Sie auch noch (*), daB (a+b) 3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 gilt. Will man noch hohere Potenzen hinschreiben, so scheint es urn das Einpr~gen (Merken) der entsprechenden Formel schon recht schlecht bestellt zu sein. Andererseits ist das Ausmultiplizieren von zum Beispiel (a+b) 7 sehr muhsam. eine allgemeine Gesetzm~Bigkeit fUr solche Potenzen (einer Summe zweier Zahlen a, b) aufzudecken, rechnen wir zun~chst einmal mehrere Potenzen aus und ordnen die Summanden nach "fallenden" Potenzen von a.

Bild 1 auf Seite 36), und zwar eine x komplexe Zahl der Gestalt (a,O) aER. Wir kennen nun die waagerechte Koordinatenaehse z als (reelle) Zahlengerade auffassen, so daB also (in einer noch zu beschreibenden Weise) z-w R £ 0: gilt. Dabei kommen wir mit den Rechenre- geln in a: nieht in Konflikt: Sind zwei Punkte der waagerechten Koordinatenachse gegeben, etwa (a,O) und (b,O) EO:, dann Bild 4. 1) auf Seite 36 (a,O) + (b,O) = (a+b,O) Wie im Reellen ist fur z,w EO: z- Differenz Darstellung der Differenz z-w = z+ (-w).

Durch Einsetzen und Ausrechnen Uberzeugen wir uns schnell von der Richtigkeit der Aussage A(n), wenn n= 1 oder = 2 oder = 3 ist: 1 2 A(1) : '2 1 A(2) : 3 2 3 + 2 '2 1 A(3) : + 2 + 3 6 3 4 . '2 . So konnten wir, wenn wir Zeit hatten, fortfahreno Aber auch wenn die Richtigkeit der Gleichung A (n) fUr n = 1980 nachgewiesen ist, bleibt ungewiB, ob sie fUr n= 1981 oder fUr n= 328 412 • 10 32 immer noch richtig ist. Mathematik und Experiment Hier hilft das Experiment mit den Dominosteinen weiter: Wir stellen uns vor, das Umkippen des n-ten Steines sei gleichbedeutend mit der Richtigkeit der Gleichung A(n) • Da wir A(1), A(2) und A(3) schon als richtig erkannt haben, kippen also die ersten drei 00minosteine urn.

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