By Oliver Deiser
Das Buch untersucht die reellen Zahlen unter verschiedenen grundlagentheoretischen Gesichtspunkten. Ziel ist, die Komplexität dieser einzigartigen mathematischen Grundstruktur sichtbar zu machen.
Im ersten Teil richtet sich der Blick auf die arithmetische Zahlengerade. Der Bogen spannt sich hier zunächst von der Entdeckung der irrationalen Zahlen durch die alten Griechen über das Kontinuumsproblem bis hin zu modernen Konstruktionsmöglichkeiten. Nach einer examine euklidischer Isometrien werden dann ausführlich Grundfragen der Maßtheorie behandelt (Probleme des Messens, Banach-Tarski-Paradoxon, Existenz bewegungsinvarianter Inhalte, Fortsetzungen des Lebesgue-Maßes).
Der zweite Teil des Buches untersucht den zu den irrationalen Zahlen homöomorphen Raum aller Folgen natürlicher Zahlen und allgemeiner polnische Räume. Die Themen umfassen Regularitätseigenschaften von Teilmengen reeller Zahlen, irreguläre Mengen, Borel-Mengen und projektive Mengen. Das Buch schließt mit einer Einführung in die Theorie der unendlichen Zweipersonenspiele.
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Example text
Wir setzen [ n 0 , n 1 , … ] = [ ¢n k | n ގ² ] = lim k → f [ n 0 , …, n k ], und nennen [ n 0 , n 1 , … ] auch einen unendlichen Kettenbruch. Für k t 1 heißt [ n 0 , …, nk − 1 ] der k-te Näherungsbruch an [ ¢n k | k ގ² ]. 1. Irrationale Zahlen 35 Berechnung der Näherungsbrüche Die Berechnung einer Reihe [ n 0 ], [ n 0 , n 1 ], …, [ n 0 , n 1 , …, n k ] von Näherungsbrüchen ist rechentechnisch aufwendig, da die rekursive Definition von [ n 0 , …, nk + 1 ] auf [ n 1 , …, n k ] zurückgreift und nicht auf [ n 0 , …, n k ].
Weiter liefert der Satz von Gauß viele Beispiele nichtrationaler algebraischer Zahlen. Zudem ist jede rationale Zahl selbst algebraisch. Es gilt also sicher ޑ ށ, der Nullstellenabschluß von ޑführt zu einer echten Erweiterung. Eine natürliche Frage ist nun, ob ein analoger Abschluß der algebraischen Zahlen unter Nullstellen von Polynomen mit algebraischen Koeffizienten wieder eine echte Erweiterung von ށerzeugt. Dies ist nicht der Fall. Die Iteration der Idee führt also zu nichts Neuem mehr.
Kleinias : Ganz gewiß. ‘ Kleinias : Ohne Zweifel. Der Athener: Außerdem gibt es noch andere diesen verwandte Probleme, bei denen viele Irrtümer in uns entstehen, die mit jenen Irrtümern verschwistert sind. Kleinias : Welche Probleme denn ? Der Athener : Auf welchem Naturgesetz die gegenseitige Meßbarkeit und Nichtmeßbarkeit beruht. Denn das muß man prüfen und unterscheiden, oder man bleibt ein ganz armseliger Tropf. “ In ihren Mußestunden wiesen die Griechen dann auch die Irrationalität von Quadratwurzeln nach.