Lineare Funktionalanalysis by Hans Wilhelm Alt

By Hans Wilhelm Alt

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Nonstandard Analysis

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S| = |s|1 entspricht der Summennorm im IRn . F¨ ur Multiindizes s definieren wir dann partielle Ableitungen h¨ oherer Ordnung durch ∂ s f (x) := ∂1s1 . . ∂nsn f (x), wobei induktiv ∂ik f (x) := ∂i ∂ik−1 f (x) f¨ ur k > 0, ∂i0 f (x) := f (x). Die Zahl |s| ist die Ordnung der partiellen Ableitung ∂ s f . Weitere Bezeichnungen f¨ ur Multiindizes sind r≤s s r := s! := xs := :⇐⇒ n si i=1 ri n i=1 si ! , n si i=1 xi ri ≤ si f¨ ur i = 1, . . , n , (Binomialkoeffizient), f¨ ur x ∈ IRn . Weitere Bezeichnungen f¨ ur partielle Ableitungen sind ∇f (x) := (∂1 f (x), .

S) ∩ U0 = ∅, also x0 ∈ clos (ϕ(S)). Weiter folgt aus der Definition der Konvergenz, dass es zu y0 ∈ V0 ∈ TY ein s ∈ S mit f (s) ∈ V0 gibt, also y0 ∈ clos (f (S)). 17(3). 17(3). Umgekehrt setze V = V0 . 17(3), so gilt f¨ ur U = U ∩ U0 U ∩ S = ∅ (da x0 ∈ clos (S)) und f (U ∩ S) ⊂ V0 . 17(4). 17(3). Wegen x0 ∈ U ∩ S folgt f (x0 ) ∈ V . Da Y Hausdorff-Raum ist, muss f (x0 ) = y0 gelten. 17(5). Sei f stetig, sowie V ∈ TY und x0 ∈ f −1 (V ). h. x0 ∈ U ⊂ f −1 (V ). Daher ist f −1 (V ) ∈ TX . Umgekehrt sei x0 ∈ X und f (x0 ) ∈ V ∈ TY .

Dann gilt: Diese iterierten Ableitungen h¨ angen nicht von der Reihenfolge der einzelnen partiellen Ableitungen ab. Daher indiziert man h¨ ohere partielle Ableitungen wie folgt: Wir nennen s einen n-dimensionalen Multiindex der Ordnung k, falls s = (s1 , . . , sn ) ∈ ZZn mit si ≥ 0 f¨ ur i = 1, . . , n , k = |s| := s1 + . . h. |s| = |s|1 entspricht der Summennorm im IRn . F¨ ur Multiindizes s definieren wir dann partielle Ableitungen h¨ oherer Ordnung durch ∂ s f (x) := ∂1s1 . . ∂nsn f (x), wobei induktiv ∂ik f (x) := ∂i ∂ik−1 f (x) f¨ ur k > 0, ∂i0 f (x) := f (x).

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