Lehrbuch der Variationsrechnung by Adolf Kneser

By Adolf Kneser

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0) bei beliebig kleinen Werten von 13 11 also in beliebiger Nähe der Stelle 13 = 0 sowohl größer wie kleiner als F F(O, 0, ... 0) = F o, = 0 ausgeschlossen womit das Extrem an der Stelle 13 ist. Notwendige Bedingungen des betrachteten freien Extrems sind also die Gleichungen Jetzt sei m > n und seien die Größen gleichungen 13 den Bedingungs- (1) 3'" §5 Einfachste Extreme. 36 unterworfen, deren linke Seiten ebenfalls an der Stelle regulär seien; wir setzen E ° = Die Gleichungen (1) seien nun nach irgend n der in ihnen vorkommenden Größen E auflösbar, z.

Variiert mftn nun so, daß die Größen 8 qa, 8 t in der Anfangsund Endlage, d. h. für t t o und t = tu verschwinden, so findet man nach VII. ja ' a Einfachste Extreme. §7 55 gesetzt istj aus der Freiheit der Variationen 8 qa, 8 t ergeben sich nach dem Haupthilfssatze die allgemeineren Bewegungsgleichungen d (aR) aH dt aqa = aqa + Qa, dE aH "'V . at + ~ Qaqa' dt = - Die letzte Gleichung ist die Energiegleichung; sie liefert, wenn H von t frei ist, die Rechtfertigung dafür, daß E als Energie bezeichnet wird, da ihr Differential dE = :s Qadq" a die in dem Zeitelement d t geleistete Arbeit des äußeren Kraftfeldes Qa ist.

In Fig. 1 ist 64 = d'y, 65 = pd'x, 01 = d'oY, und die Strecken 01 und 54 sind gleich bis auf Größen von der Ordnung der Größe d c~. : + f(fy-~~)(d'Y-Pd'X)dX o §4 33 Begriff und Grundregeln. : (18) = + J(fy-~;)ooYdX, o 0 eine Formel, mit der man häufig die Variationsrechnung beginnt, indem man zunächst abgestumpfte Variationen betrachtet. Im Falle beliebiger Endvariationen kann man die Formel (18) auch schreiben 1 (19) 1 iJ ffex,y,p)dX fox l: + fl'iJOy l: = + f(fy- ~~) iJoydx, o 0 und die naheliegende Verallgemeinerung ist, Pa = dYa/dx gesetzt, 1 (20) 'Of + 2:a dPa iJo Y" o 1 iJ f f(X'YHY2,···P1,P2,···)dx = fiJx 1 o of - -d -'0 f} iJoYa dx.

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