Höhere Mathematik für Ingenieure: Band I: Analysis by Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille

By Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille

Das Buch ist Teil einer Vorlesungsreihe, die sich über die ersten vier bis fünf Semester erstreckt. Es wendet sich in erster Linie an Studierende der Ingenieurwissenschaften, darüber hinaus aber allgemein an Studierende technischer und physikalischer Fachrichtungen sowie an Studierende der Angewandten Mathematik. Lernende und Lehrende finden mehr in dem Buch, als in einem Vorlesungszyklus behandelt werden kann. Angedacht ist, dass Dozenten einen "roten Faden" auswählen, der ihren Studenten den Weg in die Mathematik bahnt.

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A1k1 , a2k1 +1 , a2k1 +2 , . . , a2k1 +k2 , k1 k2 ... +kn−1 +1 , ar 1 , . . , arn kr Aus ihnen lassen sich genau n! Permutationen bilden. Ersetzen wir nun alle Elemente a11 , . h. »identifizieren« wir die Elemente a11 , . , a1k1 , so werden alle Permutationen gleichgesetzt, die durch Umstellungen der a11 , . , a1k1 auseinander hervorgehen. Es gibt aber genau k1 ! Reihenfolgen der Elemente a11 , . , a1k1 . Somit müssen wir n! durch k1 ! dividieren, um die Anzahl der Permutationen zu erhalten, in denen die Elemente a11 , .

Q n−1 ) = 600 · q 1 − qn 1−q e, wobei wir die geometrische Summenformel gewinnbringend verwendet haben. Wir setzen n = 7 ein und erhalten einen Kontostand von 5338,48 e. Der Zinsgewinn in diesen 7 Jahren beträgt also 1138,48e. Binomische Formel: Durch einfaches Ausmultiplizieren berechnet man die folgenden Formeln: (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 , (a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab2 + b3 , (a + b)4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b2 + 4ab3 + b4 . Allgemein erhält man für beliebigen natürlichen Exponenten n und beliebige reelle a, b die Binomische Formel: (a+b)n = a n + n n−1 n n−2 2 n n−3 3 n n n a b+ a b + a b +.

Varianten zur vollständigen Induktion: (a) Gelegentlich wird anstelle von (II) der folgende Induktionsschluss durchgeführt: (II ) Man zeigt, dass aus der Gültigkeit der Aussagen A(1), A(2), . , A(n) die Gültigkeit von A(n + 1) folgt. (Führt man die Hilfsaussage A∗ (n) ein, die bedeuten soll: »Es gilt A(k) für alle k = 1,2, . h. ) (b) Der Induktionsanfang (I) darf auch variiert werden. Ist etwa n 0 eine ganze Zahl, und ist zu jeder ganzen Zahl n ≥ n 0 eine Aussage A(n) erklärt, so ist (I) zu ersetzen durch: (I ) Man zeige, dass A(n 0 ) richtig ist.

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