By Prof. Dr. rer. nat. Klemens Burg, Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf, Prof. Dr. rer. nat. Friedrich Wille (auth.), Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf (eds.)
Inhalt
Grundlagen: Reelle Zahlen - Elementare Kombinatorik - Funktionen - Unendliche Folgen reeller Zahlen - Unendliche Reihen reeller Zahlen - Stetige Funktionen - Elementare Funktionen: Polynome - reason und algebraische Funktionen - Trigonomentrische Funktionen - Exponentialfunktionen, Logarithmus, Hyperbelfunktionen - Komplexe Zahlen - Differentialrechnung einer reellen Variablen: Grundlagen der Differentialrechnung - Ausbau der Differentialrechnung - Anwendungen - Integralrechnung einer reellen Variablen - Grundlagen der Integralrechnung - Berechnung von Integralen - Uneigentliche Integrale - Anwendung: Wechselstromrechnung - Folgen und Reihen von Funktionen: Gleichm??ige Konvergenz von Funktionenfolgen und -reihen - Potenzreihen - Fourier-Reihen - Differentialrechnung mehrerer reeller Variabler: Der n-dimensionale Raum IRn - Abbildungen im IRn - Differenzierbare Abbildungen von mehreren Variablen - Gleichungssysteme, Extremalprobleme, Anwendungen - Integralrechnung, mehrerer reeller Variabler: Integration bei zwei Variablen - Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen - Parameterabh?ngige Integrale L?sungen zu den ?bungen
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Weak Continuity and Weak Semicontinuity of Non-Linear Functionals
Publication by means of Dacorogna, B.
Nonstandard research used to be initially constructed via Robinson to carefully justify infinitesimals like df and dx in expressions like df/ dx in Leibniz' calculus or maybe to justify strategies reminiscent of [delta]-"function". even though, the procedure is way extra normal and was once quickly prolonged by way of Henson, Luxemburg and others to a useful gizmo particularly in additional complex research, topology, and sensible research.
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Paul Gauguin (1848-1903), a French post-Impressionist artist, is now well-known for his experimental use of colour, synthetist kind , and Tahitian work. Measures eight. 5x11 inches. Illustrated all through in colour and B/W.
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H. ) (b) Der Induktionsanfang (I) darf auch variiert werden. Ist etwa no eine 24 1 Grundlagen ganze Zahl, und ist zu jeder ganzen Zahl n so ist (1) zu ersetzen durch: ~ no eine Aussage A(n) erklärt, (I') Man zeige, daß A(no) richtig ist. Führt man anschließend den Induktionsschluß (II) durch, so ist die Gültigkeit von A(n) für alle ganzen n ~ no gezeigt. (Um dies einzusehen, hat man A(n) in der Form A(no -1 + m) zu schreiben mit m = 1,2,3, .... 4 Es soll gezeigt werden, daß für alle natürlichen gilt.
Ungeordnete Stichproben von k Kugeln ohne Zurücklegen. Anzahl: Variationen zur k-ten Klasse mit Wiederholungen Kombinationen zur k-ten Klasse mit Wiederholungen Kn,k - Anzahl: V n,k = n (~) - -- geordnete Stichproben von k Kugeln mit Zurücklegen. = ungeordnete Stichproben von k Kugeln mit Zurücklegen. k Anzahl: Kn,k = (n+~-l) 48 1 Grundlagen In diese Vier-Felder-Tafel ordnen sich die Permutationen (1. Grundaufgabe) ein als spezielle Variationen zur k-ten Klassen ohne Wiederholungen, nämlich für den Fall k = n.
3, allgemeiner; wegen k = 7, n = 5: Dies ist die gesuchte Anzahl monotoner k- Tupel. 8 o Zusammenfassung Die letzten vier Grundaufgaben lassen sich übersichtlich am Beispiel einer Urne mit Kugeln darstellen. Und zwar stellen wir uns eine Urne oder einen Topf vor, in dem n durchnumerierte Kugeln liegen. In Fig. 14 ist n = 10. b: k = 4. Wir sprechen von einer Stichprobe von k Kugeln, und Fig. 14 Urne mit Kugeln zwar von einer geordneten Stichprobe, wenn es uns auf die Reihenfolge der herausgenommenen Kugeln ankommt; von einer ungeordneten Stichprobe, wenn es nicht auf die Reihenfolge ankommt.