By Uwe Storch, Hartmut Wiebe
Das Buch ist als Ergänzung zu und zum Gebrauch neben einer Vorlesung über research einer Veränderlichen gedacht. Es ist hervorgegangen aus Übungen zu entsprechenden Vorlesungen für Mathematiker, Physiker und Informatiker und enthält Aufgaben verschiedener Schwierigkeitsgrade mit ausführlichen Lösungen. Es wird vorausgesetzt, dass der Leser die grundlegenden Begriffe und Aussagen aus der research einer Veränderlichen bereits gehört oder sich anderweitig – etwa im Selbststudium – angeeignet hat.
Viele der Aufgaben sind dem ersten Band des Lehrbuchs der Mathematik von U. Storch und H. Wiebe, das ebenfalls im Verlag Springer Spektrum erschienen ist, entnommen; eine ganze Reihe ist aber auch neu.
Um den Leser zur Mitarbeit anzuregen, sind einige Aufgaben ohne Lösungen gelassen. Die Ergebnisse werden dann genannt. Darüber hinaus werden immer wieder Bemerkungen angefügt, die die Resultate illustrieren, ergänzen und interessant machen.
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Partial Ordering Methods In Nonlinear Problems
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Calculus for Cognitive Scientists: Partial Differential Equation Models
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Additional resources for Arbeitsbuch zur Analysis einer Veränderlichen: Aufgaben und Lösungen
Sample text
29b) ) Man bestimme sämtliche rationalen Nullstellen der Polynomfunktionen t 3 + 43 t 2 + 23 t + 3 bzw. 3t 7 + 4t 6 − t 5 + t 4 + 4t 3 + 5t 2 − 4. h. von 4t 3 + 3t 2 + 6t + 12 = t 2 (4t + 3) + 6(t + 2) , gilt a|12 und b|4 nach Aufgabe 18. Da beide Summanden für t < −2 negativ und für t > − 43 positiv sind, kommen nur die Zahlen − 43 , −1, − 23 , −2 als Nullstellen in Frage. Dafür hat die Polynomfunktion der Reihe nach die Werte 15 , 5, 0, −20. Einzige rationale Nullstelle ist also − 23 . 2 Für eine Nullstelle a/b mit teilerfremden a, b ∈ Z, b = 0, von 3t 7 + 4t 6 − t 5 + t 4 + 4t 3 + 5t 2 − 4 = 3t 7 + (4t − 1)t 5 + t 4 + 4t 3 + (5t 2 − 4) gilt a|4 und b|3 nach Aufgabe 18.
Die Funktion void mpz_clear(mpz_t x) gibt den Speicherplatz von x wieder frei, vgl. die Zeilen 36,37,48 . Die E i n - und A u s g a b e b e f e h l e 38 §3 Ein Grundkurs in C gmp_scanf und gmp_printf sind analog zu scanf und printf definiert, wobei %Zd im Kontrollstring die Ein- bzw. Ausgabe als ganze Großzahl (in Dezimalform) interpretiert. Durch void mpz_add(mpz_t z, mpz_t x, mpz_t y) und analog für mpz_mul wird der Wert der ganzen Großzahl z auf die Summe x+y bzw. das Produkt x*y der ganzen Großzahlen x und y gesetzt.
A ≡ 2 mod 4. Dann sind (2) und (3 ) äquivalent mit c ≡ d ≡ 0 mod 2 oder mit c ≡ d ≡ 2 mod 4. Die Anzahl der Lösungen ist T (a 2 /4)/2 . h. a ≡ 0 mod 4. Dann sind (2) und (3 ) äquivalent mit c ≡ d ≡ 0 mod 4. Die Anzahl der Lösungen ist T (a 2 /16)/2 . Bei den explizit angegebenen a erhält man für c = a− 2b, b = (a− c)/2 und für die Gleichung x(x + a) = y 2 (mit x = b2 /c, y = x + b ) folgende Werte: a = 15 = 3 · 5 , T (a 2 )/2 = 4 c b x(x + a) = y 7 49 · (49+15) = 56 6 12 · (12+15) = 18 5 5 · (5+15) = 10 3 1 · (1 + 15) = 4 a = 120 = 23 · 3 · 5 , 2 2 c b T (a 2 /16)/2 = 13 x(x + a) = y2 4 58 841 · (841+120) = 8992 2 8 56 392 · (392+120) = 4482 2 12 54 243 · (243+120) = 3632 16 52 169 · (169+120) = 2212 20 50 125 · (125+120) = 1752 24 48 96 · (96 + 120) = 1442 36 42 49 · (49 + 120) = 912 40 40 40 · (40 + 120) = 802 48 36 27 · (27 + 120) = 632 60 30 15 · (15 + 120) = 452 , 72 24 8 · (8 + 120) = 322 a = 60 = 22 · 3 · 5 , T (a 2 /16)/2 = 4 80 20 5 · (5 + 120) = 252 100 10 1 · (1 + 120) = 112 .